Как узнать пару углов, выбрать свойство и вычислить неизвестный угол. Рисунок помогает найти углы; равенство и параллельность нужно обосновать условием или теоремой.
1. Что нужно знать об углах
Угол образуют два луча с общим началом — вершиной. В записи ∠AOB вершина O стоит посередине. На чертежах ниже ∠1 означает угол с номером 1.
| Вид угла | Градусная мера | Пример |
|---|
| Острый | Больше 0°, меньше 90° | 35° |
| Прямой | 90° | Угол квадрата |
| Тупой | Больше 90°, меньше 180° | 125° |
| Развёрнутый | 180° | Противоположные лучи |
Полный оборот — 360°. Биссектриса делит угол на два равных угла: например, угол 70° — на два по 35°. Если луч проходит внутри угла, меры двух частей складываются в меру всего угла.
Как читать чертёж тренажёра
a ∥ b — две параллельные прямые. Секущая пересекает обе прямые: здесь это c или d. Параллельность c и d не задана.
У каждой вершины четыре угла. Номера 1–8 относятся к секущей c, 9–16 — к секущей d. Внутренние углы лежат в полосе между a и b; остальные — внешние.
В заданиях ищем пары для прямых a и b. Для соответственных, накрест лежащих и односторонних углов выбирай одну и ту же секущую.
2. Пять типов пар углов
На схемах нужная пара выделена зелёным. Для смежных и вертикальных углов параллельность прямых не требуется.
Смежные углы
Общая вершина и одна общая сторона. Две другие стороны — противоположные лучи, то есть образуют прямую.
α + β = 180°
Пример: ∠1 и ∠2. Если ∠1 = 65°, то ∠2 = 180° − 65° = 115°.
Просто общей стороны недостаточно: остальные стороны должны продолжать друг друга.
Вертикальные углы
Углы напротив друг друга при пересечении двух прямых. Стороны одного угла — продолжения сторон другого. Общей стороны нет.
α = β
Пример: ∠1 и ∠3. Если ∠1 = 65°, то ∠3 = 65°.
Почему равны: оба дополняют один и тот же смежный угол до 180°.
Соответственные углы
Одинаковое положение при двух пересечениях одной секущей с a и b. Например, оба находятся сверху слева от своей вершины.
При a ∥ b: α = β
Пример: ∠1 и ∠5. Если ∠1 = 65°, то ∠5 = 65°.
Один угол внутренний, другой внешний. Равенство следует из параллельности прямых.
Накрест лежащие углы
Оба угла внутри полосы между a и b, у разных вершин и по разные стороны одной секущей. Их помогает найти рисунок в форме Z.
При a ∥ b: α = β
Пример: ∠3 и ∠5. Если ∠3 = 65°, то ∠5 = 65°.
Сначала проверь, что оба угла внутренние, затем — стороны секущей.
Односторонние углы
Оба угла внутри полосы между a и b, у разных вершин и по одну сторону одной секущей.
При a ∥ b: α + β = 180°
Пример: ∠3 и ∠6. Если ∠3 = 65°, то ∠6 = 180° − 65° = 115°.
Накрест лежащие — равны, односторонние — в сумме 180°.
Когда выбирать «Ни один из этих типов»
В таких заданиях тренажёра углы относятся к разным секущим: например, ∠1 и ∠9 на общей схеме. Они не образуют ни одну из пяти перечисленных пар для прямых a и b.
Свойство: нельзя определить
Параллельность a и b не задаёт угол между c и d. Поэтому для этой пары из условия не следует ни равенство, ни сумма 180°.
Это не означает, что у углов вообще нет свойств. В других задачах, например для внешних углов одной секущей, равенство можно получить через вертикальные и соответственные углы.
3. Свойства и признаки параллельности
Свойства: если a ∥ b уже дано, то соответственные и накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних равна 180°.
Признаки работают в обратную сторону. Если две прямые пересечены одной секущей, то для доказательства их параллельности достаточно одного условия:
- Накрест лежащие углы равны.
- Соответственные углы равны.
- Сумма односторонних углов равна 180°.
Названия пар определяются их положением даже для непараллельных прямых. Равенство или сумма 180° для этих трёх типов требуют параллельности. Смежные в сумме дают 180°, а вертикальные равны при любом пересечении двух прямых.
4. Как решать без угадывания
- Одна вершина? Общая сторона и противоположные другие стороны — смежные. Углы напротив друг друга — вертикальные.
- Разные вершины? Найди одну секущую, проходящую через обе. Для прямых a и b сравни положение углов относительно этой секущей.
- Оба внутри полосы? По разные стороны секущей — накрест лежащие, по одну — односторонние. Одинаковое положение у разных вершин — соответственные.
- Выбери свойство. Вертикальные равны; смежные в сумме дают 180°. Для трёх остальных типов используй данное a ∥ b.
Пример в несколько шагов
На общей схеме a ∥ b и ∠2 = 120°. Тогда ∠1 = 180° − 120° = 60° как смежный; ∠3 = ∠1 = 60° как вертикальный; ∠5 = ∠3 = 60° как накрест лежащий; ∠6 = 180° − ∠3 = 120° как односторонний.
Частые ошибки
- Принимать соседние углы за смежные без проверки противоположных лучей.
- Путать одинаковые номера или похожий размер с геометрическим свойством. Номер только обозначает угол.
- Брать углы у разных секущих c и d как накрест лежащие для a и b.
- Считать односторонние равными. По правилу их сумма равна 180°; равными они будут только по 90°.
- Делать вывод о параллельности по виду рисунка. Нужны условие, обозначение ∥ или доказательство.
Как работает тренажёр
В первом режиме выбери тип и свойство подсвеченной пары. Во втором — любую подходящую пару: порядок нажатий не важен, повторное нажатие снимает выбор. Верный ответ даёт 10 очков, ошибка снимает 5 (без ухода в минус) и сбрасывает текущую серию.
После ошибки зелёным сразу показана верная пара, а рядом — объяснение. Во втором режиме показан один из возможных примеров, красным отмечены выбранные углы вне этого примера. Повторять клики не нужно: переходи кнопкой «Дальше».
Справочник доступен до старта и во время сессии. При его чтении таймер сессии продолжает идти.